Axiomáticas quotidianas


Conseguimos, agora, imaginar o formigueiro que é a humanidade de uma forma um tanto peculiar. Um turbilhão de tábuas de axiomas que se deslocam freneticamente, perdoe-se o pleonasmo, a cada dia e em cada lugar.


Em parceria com:



Crónica de Guilherme Ferreira

Estudante de Matemática, FCUL



No universo da matemática, coexiste um número respeitável de áreas: o cálculo, a álgebra, a probabilidade, a estatística, por aí fora. Dentre elas deparamo-nos com algumas áreas ou subáreas tecidas e desenvolvidas axiomaticamente, que, sem demoras, passamos a clarificar do que se trata. Uma teoria axiomática consiste num sistema no qual, partindo de objetos primitivos e factos tidos como irrefutáveis (designados por axiomas ou postulados), são demonstrados resultados que, por sua vez, nos levam ou à demonstração de outros resultados ou, ainda, a uma maior facilidade de manipulação dos preteritamente referidos objetos primitivos. Por fim, substantiva-se cada um destes resultados, substantivo esse que varia consoante a relevância e/ou o quão poderoso é o resultado, podendo designar-se por lema, proposição, teorema ou corolário.


Abrandando um pouco, e de maneira a que não seja tudo excessivamente abstruso, debrucemo-nos sobre um ou dois exemplos. A primeira teoria axiomática foi concebida por Euclides; conceção que situamos, despreocupadamente, em 300 a.C.. Nesta teoria, a que nos referimos habitualmente, e sem grande originalidade, como geometria euclidiana, os objetos primitivos são o ponto, a reta, o plano e o espaço. Um dos axiomas, o primeiro, diz-nos que, tendo dois pontos distintos do plano (ou espaço), existe uma, e uma só, reta que interseta ambos. Esta afirmação é, no âmbito da teoria axiomática de Euclides, encarada como um facto, uma verdade que considera qualquer tipo de justificação sobeja. Por fim, falta-nos ilustrar um dos resultados passíveis de demonstrar, recorrendo aos axiomas e resultados já provados. Com vista ao preenchimento desta lacuna, falemos de um teorema, que nos diz o seguinte: para todo o ponto de uma reta r, existe uma outra reta, e uma só, que interseta este ponto e que é perpendicular à reta r. Este resultado foi batizado de teorema, dada a sua relevância e as implicações que lhe estão associadas.


Não resisto, ainda, a uma breve menção inerente à teoria ZFC, outra teoria axiomática que, no âmbito da área da teoria dos conjuntos, combina as artimanhas de Zermelo, Fraenkle e do axioma da escolha (choice, em inglês, daí o C), de modo a presentear a humanidade com a linguagem que unificou a matemática e permitiu que o universo das demonstrações formais adquirisse um solo firme.


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Estando desmistificada a primeira parte do título que, embora esteja ciente da infinidade de pessoas que o exporia infinituplamente melhor, espero que tenha ficado moderadamente clara, vamos à segunda parte, mudando radicalmente o cerne da conversa. Se estávamos localizados no espetro do universo matemático, vamos, agora, para um outro diametralmente distinto, o do universo sociocultural, onde tudo é mais incerto, maleável, volátil…


Na fase decorrente até ao alcance da autonomia intelectual, frequentamos meios diversos onde as nossas crenças ou convicções são originadas, sofrem mutações ou são aniquiladas. Podemos encarar estas convicções como axiomas; claro, tendo em consideração que, transpondo o conceito do universo matemático para este ao qual viemos parar, este adquire a volatilidade já nomeada e, desta forma, a nossa tábua de axiomas, imagem que levaremos até ao fim da conversa, vai sendo sempre atualizada. Como efeito imediato, temos que também as nossas opiniões se vão metamorfoseando, desvanecendo, ressurgindo. Foi uma cambalhota e tanto, mas tenhamos paciência e vejamos no que isto vai dar.



M. C. Escher

Conseguimos, agora, imaginar o formigueiro que é a humanidade de uma forma um tanto peculiar. Um turbilhão de tábuas de axiomas que se deslocam freneticamente, perdoe-se o pleonasmo, a cada dia e em cada lugar. Em cada troca de ideias, discussão, debate, as pessoas puxam da sua tábua: trocam axiomas, fortalecem os seus e os dos outros, esculpem novas opiniões, aprumam ou modificam na totalidade outras tantas. Dependendo das taxas de tolerância e abertura de cada um, estes encontros podem ser mais ou menos frutíferos e menos ou mais conflituosos. Um indivíduo adepto do conservadorismo dificilmente disporá os seus axiomas à mercê dos outros, arriscando uma transmutação ou evolução. Sem nos preocuparmos em demasia com uma definição rigorosa, podemos imaginar as axiomáticas de pessoas que se comportem deste modo como axiomáticas mortas, isto é, que já não têm nada de novo a revelar. Em contraponto, alguém que esteja disposto à exposição da debilidade de algumas das suas convicções ou opiniões formadas, abraçará a incessante dinâmica que é a construção e desconstrução das nossas fundações ideológicas, éticas, morais.


Um outro tipo de axiomática quotidiana que me surge no pensamento e, naquele que é o meu frágil entendimento, muito mais poderoso e perigoso, é a axiomática coletiva. Praticada por um vasto número de pessoas, seguindo todas elas uma certa tábua de axiomas. Claro que nos surge, até com uma certa e dececionante previsibilidade, o exemplo da(s) religião(ões). Se paralelizarmos os axiomas com os dogmas/mandamentos/máximas com os quais já estamos familiarizados, bate certo. Infelizmente, pelo menos no exemplo que se optou por abordar, esta é fatalmente uma axiomática morta. Conservadora. As ilações advindas dos axiomas destas instituições são, muitas vezes, perigosas e assentam sobre um conjunto de hipóteses que, por si só, já são um tanto ou quanto questionáveis, se não tendenciosas e/ou manipuladoras.


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Esta pequena e modesta dissertação leva-nos a uma realidade que, ainda que nos forneça ferramentas para a tolerância e coexistência, deixa-nos com uma sensação de imensurável desconforto. Falo de um conceito apresentado e estudado profundamente pelo exímio Karl Popper, filósofo austríaco do século XX. Não me atrevo nem me aventuro a expor nem mesmo um resumo das suas ideias e do seu desenvolvimento, mas, numa palavra, podemos dizer que Popper nos trouxe o pensamento visionário de “verdades múltiplas”, respondendo acremente à perturbadora e desconcertante pergunta que Pilatos dirigiu a Jesus. Segundo a sua conceção (de Popper) de “verdade”, díspar da de “certeza”, o conhecimento matemático pode ser considerado conjetural, mormente as hipóteses/axiomas de uma teoria matemática – uma verdade incerta. Esta abordagem tem implicações graves e foi, por isso, alvo de muita crítica e polémica. Constatar que uma realidade que tomamos como verdadeira é, afinal de contas, uma verdade incerta, é um pensamento fortemente desassossegador. E o desassossego é tramado.